曲線 $C$ 上の点 $P(t, f(t))$ から直線 $l$ に下ろした垂線と $l$ の交点を $H$ とする。$\triangle PQH$ が直角二等辺三角形であるとき、$PH$ の長さを $f(t)$ と $t$ を用いて表し、線分 $PH$ の長さが最大となる $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $C$ 上の点 $P(t, f(t))$ から直線 $l$ に下ろした垂線と $l$ の交点を $H$ とする。$\triangle PQH$ が直角二等辺三角形であるとき、$PH$ の長さを $f(t)$ と $t$ を用いて表し、線分 $PH$ の長さが最大となる $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle PQH$ が直角二等辺三角形であることから、$PH = PQ$ が成り立ちます。点 $P$ の $y$ 座標は $f(t)$ であり、点 $Q$ は直線 $l$ 上にあるので、$Q$ の $y$ 座標は $t$ です。したがって、$PQ = |f(t) - t|$ となります。

$PH$ の長さは、選択肢から選ぶ必要があります。$\triangle PQH$ は直角二等辺三角形なので、$PH = PQ = \frac{1}{\sqrt{2}}|PH+HQ| = \frac{1}{\sqrt{2}}(f(t)+t)$.

したがって、$PH= \frac{1}{\sqrt{2}}|f(t) - t|$となります。

$PH$ の長さが与えられている画像がないため、$f(t) > t$と仮定すると、$PH = \frac{1}{\sqrt{2}}(f(t)-t)$.

問題文には $f(x)-x = \frac{1}{9}x(x-3)^2$が与えられているので，$f(t)-t = \frac{1}{9}t(t-3)^2$ である。

したがって $PH = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{9}t(t-3)^2 = \frac{1}{9\sqrt{2}}t(t^2-6t+9) = \frac{1}{9\sqrt{2}}(t^3 - 6t^2 + 9t)$.

ここで、$PH$ を最大にする $t$ を求めるために、微分して $0$ となる $t$ を探します。

$\frac{d(PH)}{dt} = \frac{1}{9\sqrt{2}}(3t^2 - 12t + 9) = \frac{3}{9\sqrt{2}}(t^2 - 4t + 3) = \frac{1}{3\sqrt{2}}(t-1)(t-3)$.

$0 < t < 3$ であるから、$\frac{d(PH)}{dt} = 0$ となるのは $t=1$ のとき。

$t=1$ のとき、$PH$ は極大値を持ち、最大値であると考えられる。

$t=1$ のとき、$PH = \frac{1}{9\sqrt{2}}(1 - 6 + 9) = \frac{4}{9\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{18} = \frac{2\sqrt{2}}{9}$

3. 最終的な答え

$PH = \frac{1}{\sqrt{2}}(f(t)-t)$

$t = 1$ のとき、最大値 $\frac{2\sqrt{2}}{9}$ をとる。