(1) $\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \cos(\theta + \pi) + \cos(\theta + \frac{3}{2}\pi)$ の値を求めよ。 (2) $\sin(\theta + \pi) \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) \cos(-\theta)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \cos(\theta + \pi) + \cos(\theta + \frac{3}{2}\pi)$ の値を求めよ。

(2) $\sin(\theta + \pi) \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) \cos(-\theta)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の加法定理を利用して、各項を$\sin\theta$と$\cos\theta$で表す。

$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{2} - \sin\theta \sin\frac{\pi}{2} = \cos\theta \cdot 0 - \sin\theta \cdot 1 = -\sin\theta$

$\cos(\theta + \pi) = \cos\theta \cos\pi - \sin\theta \sin\pi = \cos\theta \cdot (-1) - \sin\theta \cdot 0 = -\cos\theta$

$\cos(\theta + \frac{3}{2}\pi) = \cos\theta \cos\frac{3}{2}\pi - \sin\theta \sin\frac{3}{2}\pi = \cos\theta \cdot 0 - \sin\theta \cdot (-1) = \sin\theta$

したがって、

$\cos\theta + \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \cos(\theta + \pi) + \cos(\theta + \frac{3}{2}\pi) = \cos\theta - \sin\theta - \cos\theta + \sin\theta = 0$

(2)

三角関数の性質を利用して、各項を$\sin\theta$と$\cos\theta$で表す。

$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$

$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin\theta$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos\theta$

$\cos(-\theta) = \cos\theta$

したがって、

$\sin(\theta + \pi) \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) \cos(-\theta) = (-\sin\theta)(-\sin\theta) + (\cos\theta)(\cos\theta) = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 1