定数 $a, b$ が $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} + b}{x-2} = \frac{3}{4}$ を満たすとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a, b$ が $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} + b}{x-2} = \frac{3}{4}$ を満たすとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} + b}{x-2}$ が有限の値を持つためには、$x \to 2$ のとき分子が 0 に収束する必要がある。つまり、

$a\sqrt{2^2+2(2)+8}+b = 0$

$a\sqrt{4+4+8}+b = 0$

$a\sqrt{16}+b = 0$

$4a + b = 0$

したがって、$b = -4a$ である。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} - 4a}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x^2+2x+8} - 4)}{x-2}$

$= a \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+2x+8} - 4}{x-2}$

ここで、分子を有理化する。

$a \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2+2x+8} - 4)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)}$

$= a \lim_{x \to 2} \frac{(x^2+2x+8) - 16}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)}$

$= a \lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x-8}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)}$

$= a \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)}$

$= a \lim_{x \to 2} \frac{x+4}{\sqrt{x^2+2x+8} + 4}$

$= a \frac{2+4}{\sqrt{2^2+2(2)+8} + 4}$

$= a \frac{6}{\sqrt{16} + 4}$

$= a \frac{6}{4 + 4} = a \frac{6}{8} = \frac{3a}{4}$

これが $\frac{3}{4}$ に等しいので、

$\frac{3a}{4} = \frac{3}{4}$

$3a = 3$

$a = 1$

$b = -4a = -4(1) = -4$

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -4$