以下の3つの和を求めます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ (2) $x \neq 1$のとき、$1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (\sum_{l=1}^{k} l)$

1. 問題の内容

以下の3つの和を求めます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

(2) $x \neq 1$のとき、$1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (\sum_{l=1}^{k} l)$

2. 解き方の手順

(1) 部分分数分解を用いて計算します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$

(2) $S = 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}$とおく。

$xS = x+2x^2+3x^3+\cdots+(n-1)x^{n-1}+nx^n$

$S-xS = (1-x)S = 1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}-nx^n$

$1+x+x^2+\cdots+x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$

$(1-x)S = \frac{1-x^n}{1-x} - nx^n$

$S = \frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{nx^n}{1-x} = \frac{1-x^n - nx^n(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{1-x^n-nx^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} = \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$

(3) まず内側の和を計算します。

$\sum_{l=1}^{k} l = \frac{k(k+1)}{2}$

次に外側の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k(k+1)}{2} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \right)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)+3n(n+1)}{6} \right)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{12} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{12} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{2n+1}$

(2) $\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}$

(3) $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$