(1) 極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}}$ を求める。 (2) 極限 $\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}}$ を求める。

(2) 極限 $\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x - \frac{\pi}{2} = t$ と置くと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2\cos x)}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(2\cos(t + \frac{\pi}{2}))}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(-2\sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{t}$

ここで、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用すると、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{2\sin t} \cdot \frac{2\sin t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin(2\sin t)}{2\sin t} \cdot 2 \cdot \frac{\sin t}{t} = -1 \cdot 2 \cdot 1 = -2$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x = \lim_{x \to \infty} (\frac{x-3+6}{x-3})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^x$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ を利用する。

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^{\frac{x-3}{6} \cdot \frac{6x}{x-3}} = \lim_{x \to \infty} [(1 + \frac{6}{x-3})^{\frac{x-3}{6}}]^{\frac{6x}{x-3}}$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{6}{x-3})^{\frac{x-3}{6}} = e$

$\lim_{x \to \infty} \frac{6x}{x-3} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{1 - \frac{3}{x}} = 6$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+3}{x-3})^x = e^6$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) $e^6$