次の定積分を計算します。 $\int_0^{\sqrt{e}} [\frac{1}{4}x^4 - (e \log x)^2] dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_0^{\sqrt{e}} [\frac{1}{4}x^4 - (e \log x)^2] dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_0^{\sqrt{e}} [\frac{1}{4}x^4 - (e \log x)^2] dx = \int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{4}x^4 dx - \int_0^{\sqrt{e}} (e \log x)^2 dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_0^{\sqrt{e}} \frac{1}{4}x^4 dx = \frac{1}{4} \int_0^{\sqrt{e}} x^4 dx = \frac{1}{4} [\frac{1}{5}x^5]_0^{\sqrt{e}} = \frac{1}{20} (\sqrt{e})^5 = \frac{1}{20} (e^{1/2})^5 = \frac{1}{20} e^{5/2} = \frac{e^{5/2}}{20}$

次に、$\int_0^{\sqrt{e}} (e \log x)^2 dx$ を計算します。

$\int_0^{\sqrt{e}} (e \log x)^2 dx = e^2 \int_0^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx$

$\int (\log x)^2 dx$ を部分積分で計算します。

$u = (\log x)^2, dv = dx$ とすると、$du = 2 (\log x) \frac{1}{x} dx, v = x$

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 (\log x) \frac{1}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

$\int \log x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x$

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x$

$\int_0^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx = [x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x]_0^{\sqrt{e}}$

$= [\sqrt{e} (\log \sqrt{e})^2 - 2 \sqrt{e} \log \sqrt{e} + 2\sqrt{e}] - \lim_{x \to 0} [x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x]$

$\log \sqrt{e} = \log e^{1/2} = \frac{1}{2} \log e = \frac{1}{2}$

$\sqrt{e} (\frac{1}{2})^2 - 2 \sqrt{e} (\frac{1}{2}) + 2 \sqrt{e} = \frac{\sqrt{e}}{4} - \sqrt{e} + 2\sqrt{e} = \frac{\sqrt{e}}{4} + \sqrt{e} = \frac{5\sqrt{e}}{4}$

$\lim_{x \to 0} x (\log x)^2 = 0, \lim_{x \to 0} x \log x = 0, \lim_{x \to 0} x = 0$

$\int_0^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx = \frac{5\sqrt{e}}{4}$

$\int_0^{\sqrt{e}} (e \log x)^2 dx = e^2 \int_0^{\sqrt{e}} (\log x)^2 dx = e^2 \cdot \frac{5\sqrt{e}}{4} = \frac{5e^{5/2}}{4}$

$\int_0^{\sqrt{e}} [\frac{1}{4}x^4 - (e \log x)^2] dx = \frac{e^{5/2}}{20} - \frac{5e^{5/2}}{4} = \frac{e^{5/2}}{20} - \frac{25e^{5/2}}{20} = \frac{-24e^{5/2}}{20} = \frac{-6e^{5/2}}{5}$

3. 最終的な答え

$-\frac{6e^{5/2}}{5}$