次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos 6x}}{x}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - \cos 6x}}{x}$

2. 解き方の手順

三角関数の半角の公式を利用します。

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$

より、

$1 - \cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta$

ここで $2\theta = 6x$ とすると $\theta = 3x$ となり、

$1 - \cos 6x = 2 \sin^2 3x$

したがって、与えられた極限は、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2 \sin^2 3x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2} |\sin 3x|}{x}$

ここで、$x \to 0$ を考えるので、$x$ が正と負の場合で場合分けをする必要があります。

(i) $x \to 0^+$ のとき、$\sin 3x > 0$ となるので、$|\sin 3x| = \sin 3x$

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{2} \sin 3x}{x} = \sqrt{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{x}$

ここで $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いるために、$3x = u$ とおくと、$x = \frac{u}{3}$ であり、$x \to 0$ のとき、$u \to 0$ となるから

$\sqrt{2} \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 3x}{x} = \sqrt{2} \lim_{u \to 0^+} \frac{\sin u}{u/3} = 3 \sqrt{2} \lim_{u \to 0^+} \frac{\sin u}{u} = 3 \sqrt{2}$

(ii) $x \to 0^-$ のとき、$\sin 3x < 0$ となるので、$|\sin 3x| = -\sin 3x$

$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{2} |\sin 3x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sqrt{2} \sin 3x}{x} = -\sqrt{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 3x}{x}$

同様に、$3x = u$ とおくと

$-\sqrt{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin 3x}{x} = -\sqrt{2} \lim_{u \to 0^-} \frac{\sin u}{u/3} = -3\sqrt{2} \lim_{u \to 0^-} \frac{\sin u}{u} = -3 \sqrt{2}$

右側極限と左側極限が一致しないため、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。