定積分 $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この定積分は部分積分を使って解くことができます。

まず、$u = (\log x)^2$、$dv = dx$ とします。すると、$du = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使うと、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$

$= [x(\log x)^2]_{1}^{e} - 2\int_{1}^{e} \log x dx$

ここで、$\int \log x dx$ を計算するために、再び部分積分を使います。

$u = \log x$、$dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = x$ となります。

$\int \log x dx = x\log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x\log x - \int dx = x\log x - x + C$

したがって、

$\int_{1}^{e} (\log x)^2 dx = [x(\log x)^2]_{1}^{e} - 2[x\log x - x]_{1}^{e}$

$= [e(\log e)^2 - 1(\log 1)^2] - 2[e\log e - e - (1\log 1 - 1)]$

$= [e(1)^2 - 1(0)^2] - 2[e(1) - e - (1(0) - 1)]$

$= e - 2[e - e - (0 - 1)]$

$= e - 2[1]$

$= e - 2$

3. 最終的な答え

$e-2$