関数 $f(x) = 2\sin x + 2\cos x - 3\sin x \cos x$ （$0 \leq x < 2\pi$）について、以下の問いに答えます。 (1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の式で表します。 (2) $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、回答を作成します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\sin x + 2\cos x - 3\sin x \cos x$ （$0 \leq x < 2\pi$）について、以下の問いに答えます。

(1) $t = \sin x + \cos x$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ の式で表します。

(2) $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x + \cos x$ とおくことから、$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$ となります。

したがって、$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$ です。

これを $f(x)$ に代入すると、

$f(x) = 2(\sin x + \cos x) - 3\sin x \cos x = 2t - 3(\frac{t^2 - 1}{2}) = 2t - \frac{3}{2}t^2 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{3}{2}$ となります。

(2) $f(x)$ の最大値と最小値を求めるために、$f(x) = -\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{3}{2}$ を平方完成します。

$f(x) = -\frac{3}{2}(t^2 - \frac{4}{3}t) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}((t - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(t - \frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(t - \frac{2}{3})^2 + \frac{4+9}{6} = -\frac{3}{2}(t - \frac{2}{3})^2 + \frac{13}{6}$

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ であるので、$- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ となります。

$t = \frac{2}{3}$ のとき、$f(x)$ は最大値 $\frac{13}{6}$ を取ります。

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$f(x) = -\frac{3}{2}(-\sqrt{2} - \frac{2}{3})^2 + \frac{13}{6} = -\frac{3}{2}(2 + \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{4}{9}) + \frac{13}{6} = -3 - 2\sqrt{2} - \frac{2}{3} + \frac{13}{6} = -\frac{18}{6} - \frac{12\sqrt{2}}{6} - \frac{4}{6} + \frac{13}{6} = -\frac{9}{6} - \frac{12\sqrt{2}}{6} = -\frac{3}{2} - 2\sqrt{2} = \frac{-3 - 4\sqrt{2}}{2}$ となり、最小値となります。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -\frac{3}{2}t^2 + 2t + \frac{3}{2}$

(2) 最大値: $\frac{13}{6}$, 最小値: $\frac{-3 - 4\sqrt{2}}{2}$

上記を問題の形式に合わせて回答すると、

(1) $f(x) = \frac{-3}{2}t^2 + 2t + \frac{3}{2}$

(2) 最大値: $\frac{13}{6}$, 最小値: $\frac{-3}{2} - 2\sqrt{2}$

となります。