複素関数 $f(z) = \frac{z-\overline{z}}{2i}$ が微分可能かどうかをコーシー・リーマンの方程式を用いて判断します。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = \frac{z-\overline{z}}{2i}$ が微分可能かどうかをコーシー・リーマンの方程式を用いて判断します。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + iy$ と表すと、その共役複素数は $\overline{z} = x - iy$ となります。したがって、$f(z)$ は以下のように書き換えられます。

$f(z) = \frac{(x+iy) - (x-iy)}{2i} = \frac{2iy}{2i} = y$

ここで、$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ とすると、$u(x, y) = 0$、$v(x, y) = y$ となります。

コーシー・リーマンの方程式は以下の2つの式で表されます。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

それぞれの偏導関数を計算すると以下のようになります。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial (0)}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial (0)}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial (y)}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial (y)}{\partial y} = 1$

コーシー・リーマンの方程式に代入すると、

$0 = 1$

$0 = -0$

となります。一つ目の式 $0 = 1$ は成立しないため、コーシー・リーマンの方程式は満たされません。

3. 最終的な答え

コーシー・リーマンの方程式が満たされないため、$f(z) = \frac{z-\overline{z}}{2i}$ は微分可能ではありません。