関数 $f(x) = x^{\frac{5}{2}} + \log x$ を微分する。

## 問題の回答

以下に、ご質問の問題に対する回答を示します。

### HW 5.2 (1)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^{\frac{5}{2}} + \log x$ を微分する。

2. 解き方の手順

$f(x)$を微分するには、各項を個別に微分し、それらを足し合わせます。

- $x^{\frac{5}{2}}$ の微分: べき乗則 $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$ を用いる。

- $\log x$ の微分: $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$ を用いる。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{dx} (\log x)$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} + \frac{1}{x}$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x}$

### HW 5.2 (2)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 \sin^{-1} x$ を微分する。

2. 解き方の手順

積の微分法則 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。ここで、 $u = x^3$ 、 $v = \sin^{-1} x$ とする。

- $u' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$

- $v' = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = (x^3)' \sin^{-1} x + x^3 (\sin^{-1} x)'$

$f'(x) = 3x^2 \sin^{-1} x + x^3 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^2 \sin^{-1} x + \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

### HW 5.2 (3)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分する。

2. 解き方の手順

商の微分法則 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。ここで、$u = e^x$、$v = \sin x$ とする。

- $u' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

- $v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$f'(x) = \frac{(e^x)' \sin x - e^x (\sin x)'}{(\sin x)^2}$

$f'(x) = \frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{\sin^2 x}$

$f'(x) = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

### HW 5.2 (4)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \cos(x^2+1)$ を微分する。

2. 解き方の手順

合成関数の微分（連鎖律）を用いる。

$f(x) = \cos(g(x))$のとき$f'(x) = -\sin(g(x))g'(x)$.

ここで$g(x) = x^2 + 1$とおくと、

$g'(x) = 2x$.

$f'(x) = -\sin(x^2+1) \cdot (x^2+1)'$

$f'(x) = -\sin(x^2+1) \cdot 2x$

$f'(x) = -2x\sin(x^2+1)$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -2x\sin(x^2+1)$

### HW 5.3 (1)

1. 問題の内容

関数 $\frac{nRT}{V}$ を $T$ で微分する。ここで、$n, R, V$ は定数である。

2. 解き方の手順

$T$に関する微分を行う。$n, R, V$は定数なので、$\frac{nR}{V}$ も定数。

$\frac{d}{dT} \left( \frac{nRT}{V} \right) = \frac{nR}{V} \frac{d}{dT} (T)$

$\frac{d}{dT} \left( \frac{nRT}{V} \right) = \frac{nR}{V} \cdot 1$

3. 最終的な答え

$\frac{nR}{V}$

### HW 5.3 (2)

1. 問題の内容

関数 $\tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + a^2$ を $b$ で微分する。ここで、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

$b$に関する微分を行う。$a$ は定数なので、$\frac{1}{a}$ も定数。

- $\tan^{-1} (x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$

- 定数項$a^2$の微分は0

$\frac{d}{db} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + a^2 \right] = \frac{d}{db} \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + \frac{d}{db} a^2$

連鎖律より、

$\frac{d}{db} \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) = \frac{1}{1+\left( \frac{b}{a} \right)^2} \cdot \frac{d}{db} \left( \frac{b}{a} \right) = \frac{1}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{a^2 + b^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a^2 + b^2}$

$\frac{d}{db} a^2 = 0$

したがって、

$\frac{d}{db} \left[ \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) + a^2 \right] = \frac{a}{a^2 + b^2} + 0$

3. 最終的な答え

$\frac{a}{a^2 + b^2}$