次の定積分を計算してください。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{5}{2}x) \sin(\frac{x}{2}) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算してください。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{5}{2}x) \sin(\frac{x}{2}) dx$

2. 解き方の手順

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ を用いて積分を計算します。

\begin{align*} \label{eq:1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(\frac{5}{2}x) \sin(\frac{x}{2}) dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} [\cos(\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}x) - \cos(\frac{5}{2}x + \frac{1}{2}x)] dx \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\cos(2x) - \cos(3x)] dx \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{3} \sin(3x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{2} \left[ (\frac{1}{2} \sin(\pi) - \frac{1}{3} \sin(\frac{3\pi}{2})) - (\frac{1}{2} \sin(0) - \frac{1}{3} \sin(0)) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ (0 - \frac{1}{3}(-1)) - (0 - 0) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} \right] \\ &= \frac{1}{6}\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$