定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^2 2x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^2 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 2x$ を半角の公式を用いて変形します。

半角の公式は $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ なので、

$\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$ となります。

したがって、与えられた積分は

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin^2 2x \, dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1 - \cos 4x}{2} \, dx$$

となります。

次に、この積分を計算します。

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1 - \cos 4x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} (1 - \cos 4x) \, dx$$

$$= \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{4} \sin 4x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi}$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \left(\pi - \frac{1}{4} \sin 4\pi \right) - \left( -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \sin (-2\pi) \right) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \pi - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left( \pi + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{2} \right) = \frac{3\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{4}$