次の微分方程式を解く問題です。 $(x - 3y - 5) \frac{dy}{dx} = (3x + y - 5)$

1. 問題の内容

次の微分方程式を解く問題です。

$(x - 3y - 5) \frac{dy}{dx} = (3x + y - 5)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を次のように変形します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x + y - 5}{x - 3y - 5}$

次に、$x = X + h$, $y = Y + k$とおき、微分方程式を同次形に変形することを試みます。

このとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$となります。

$X,Y$に関する式は以下のようになります。

$\frac{dY}{dX} = \frac{3(X+h) + (Y+k) - 5}{(X+h) - 3(Y+k) - 5} = \frac{3X + Y + (3h + k - 5)}{X - 3Y + (h - 3k - 5)}$

$3h + k - 5 = 0$

$h - 3k - 5 = 0$

を解くと、$h = 2, k = -1$となります。

したがって、$x = X + 2$, $y = Y - 1$です。

これより、

$\frac{dY}{dX} = \frac{3X + Y}{X - 3Y}$

次に、$Y = vX$とおくと、$\frac{dY}{dX} = v + X\frac{dv}{dX}$となるので、

$v + X\frac{dv}{dX} = \frac{3X + vX}{X - 3vX} = \frac{3 + v}{1 - 3v}$

$X\frac{dv}{dX} = \frac{3+v}{1-3v} - v = \frac{3+v -v + 3v^2}{1-3v} = \frac{3 + 3v^2}{1-3v}$

$\frac{1-3v}{3(1+v^2)} dv = \frac{dX}{X}$

$\int \frac{1-3v}{3(1+v^2)} dv = \int \frac{1}{3(1+v^2)} dv - \int \frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{3} \arctan(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) + C_1$

$\int \frac{dX}{X} = \ln|X| + C_2$

$\frac{1}{3} \arctan(v) - \frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|X| + C$ (ここで $C= C_2-C_1$)

$\frac{1}{3} \arctan(\frac{Y}{X}) - \frac{1}{2} \ln(1+\frac{Y^2}{X^2}) = \ln|X| + C$

$\frac{1}{3} \arctan(\frac{Y}{X}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{X^2+Y^2}{X^2}) = \ln|X| + C$

$\frac{1}{3} \arctan(\frac{Y}{X}) - \frac{1}{2} \ln(X^2+Y^2) + \ln|X| = \ln|X| + C$

$\frac{1}{3} \arctan(\frac{Y}{X}) - \frac{1}{2} \ln(X^2+Y^2) = C$

$\frac{1}{3} \arctan(\frac{y+1}{x-2}) - \frac{1}{2} \ln((x-2)^2 + (y+1)^2) = C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \arctan(\frac{y+1}{x-2}) - \frac{1}{2} \ln((x-2)^2 + (y+1)^2) = C$