関数 $f(x)$ の点 $a$ における一次近似が、$f(x) = f(a) + 3(x - a) + \epsilon(x)$ で与えられ、$ \lim_{x \to a} \frac{\epsilon(x)}{x - a} = 0$ を満たすとき、$f'(a)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ の点 $a$ における一次近似が、$f(x) = f(a) + 3(x - a) + \epsilon(x)$ で与えられ、$\lim_{x \to a} \frac{\epsilon(x)}{x - a} = 0$ を満たすとき、$f'(a)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ の $x=a$ における一次近似は、$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ で表されます。

与えられた一次近似の式と比較すると、

$f(x) = f(a) + 3(x-a) + \epsilon(x)$

ここで、$x \to a$ のとき $\epsilon(x)$ は $x-a$ より速く 0 に収束します。つまり、$\lim_{x \to a} \frac{\epsilon(x)}{x - a} = 0$ という条件は、$\epsilon(x)$ が $(x-a)$ の高次の項であることを示しています。

一次近似の定義から、$f'(a)$ の係数は $(x-a)$ の係数に等しくなります。

したがって、

$f'(a) = 3$

3. 最終的な答え

$f'(a) = 3$