$k$を定数とする。3次方程式 $x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x - k = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (ただし $\alpha < \beta < \gamma$) をもつとき、以下の問いに答えよ。 (1) $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $\alpha\gamma$ が最小となるときの $k$ の値と、そのときの $\alpha\gamma$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。3次方程式 $x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x - k = 0$ が異なる3つの実数解 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (ただし $\alpha < \beta < \gamma$) をもつとき、以下の問いに答えよ。

(1) $k$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $\alpha\gamma$ が最小となるときの $k$ の値と、そのときの $\alpha\gamma$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x$ とおくと、与えられた方程式は $f(x) = k$ となる。

(1)

$f(x)$ の増減を調べるために、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 3x - 6 = 3(x^2 - x - 2) = 3(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 2$ のときである。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

| :--- | --- | :-- | --- | :-- | --- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-1) = (-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - 6(-1) = -1 - \frac{3}{2} + 6 = \frac{-2-3+12}{2} = \frac{7}{2}$

$f(2) = 2^3 - \frac{3}{2}(2)^2 - 6(2) = 8 - 6 - 12 = -10$

$f(x) = k$ が異なる3つの実数解をもつためには、極大値と極小値の間に $k$ が存在する必要がある。

したがって、$-10 < k < \frac{7}{2}$

(2)

$f(x) = k$ の3つの解を $\alpha < \beta < \gamma$ とする。

$k$ の範囲が $-10 < k < \frac{7}{2}$ であることから、

$\alpha < -1 < \beta < 2 < \gamma$ である。

$f(x)$ のグラフを考えると、$f(x)$ は $-\infty$ から増加して $-1$ で $\frac{7}{2}$ になり、減少して $2$ で $-10$ になり、増加して $\infty$ になる。

したがって、$\alpha$ は $-\infty$ に近づき、$\gamma$ は $\infty$ に近づくことができる。

$\alpha$ の範囲は、$- \infty < \alpha < -1$

$\beta$ の範囲は、$-1 < \beta < 2$

$\gamma$ の範囲は、$2 < \gamma < \infty$

(3)

$\alpha\gamma$ が最小となるのは、$f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x$ のグラフを考えると、

$f(x)= k$ となる３つの解のうち、$\alpha \gamma$ が最小となるのは、$\beta = 0$ のときである。

$f(0) = 0$ なので、$k=0$ のときを考える。

$x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x = 0$

$x(x^2 - \frac{3}{2}x - 6) = 0$

$x = 0$ または $x^2 - \frac{3}{2}x - 6 = 0$

$x = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 24}}{2} = \frac{\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9+96}{4}}}{2} = \frac{\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{105}}{2}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$\alpha = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}, \beta = 0, \gamma = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$\alpha\gamma = \frac{9 - 105}{16} = \frac{-96}{16} = -6$

このとき、$f(x)=0$ は異なる３つの実数解を持つ条件を満たしている。

3. 最終的な答え

(1) $-10 < k < \frac{7}{2}$

(2) $-\infty < \alpha < -1$, $-1 < \beta < 2$, $2 < \gamma < \infty$

(3) $k=0$ のとき、$\alpha\gamma$ の最小値は $-6$