定積分 $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x(x+1)}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x(x+1)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ とおきます。

両辺に $x(x+1)$ をかけると、

$1 = A(x+1) + Bx$

$1 = (A+B)x + A$

係数を比較して、$A+B=0$ かつ $A=1$。

よって、$A=1$ かつ $B=-1$ となります。

したがって、$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ となります。

これを用いて、積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x(x+1)} = \int_{1}^{3} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx$

$= \left[ \ln |x| - \ln |x+1| \right]_{1}^{3}$

$= \left[ \ln \left| \frac{x}{x+1} \right| \right]_{1}^{3}$

$= \ln \left( \frac{3}{4} \right) - \ln \left( \frac{1}{2} \right)$

$= \ln \left( \frac{3}{4} \right) - \ln \left( \frac{1}{2} \right)$

$= \ln \left( \frac{3/4}{1/2} \right)$

$= \ln \left( \frac{3}{4} \cdot 2 \right)$

$= \ln \left( \frac{3}{2} \right)$

3. 最終的な答え

$\ln \left( \frac{3}{2} \right)$