定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} (x\cos{x} + \cos{2x}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} (x\cos{x} + \cos{2x}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{-\pi}^{\pi} (x\cos{x} + \cos{2x}) dx = \int_{-\pi}^{\pi} x\cos{x} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \cos{2x} dx$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_{-\pi}^{\pi} x\cos{x} dx$ について、被積分関数 $f(x) = x\cos{x}$ は奇関数です。なぜなら、$f(-x) = -x\cos{(-x)} = -x\cos{x} = -f(x)$ だからです。奇関数の積分区間が対称な場合、積分値は0になります。

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} x\cos{x} dx = 0$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos{2x} dx$ について、$\cos{2x}$ の不定積分は $\frac{1}{2}\sin{2x}$ です。したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos{2x} dx = \left[ \frac{1}{2}\sin{2x} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2}\sin{(2\pi)} - \frac{1}{2}\sin{(-2\pi)} = \frac{1}{2}(0) - \frac{1}{2}(0) = 0$

したがって、

$\int_{-\pi}^{\pi} (x\cos{x} + \cos{2x}) dx = 0 + 0 = 0$

3. 最終的な答え

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