$\int_{1}^{2} x \log(x+1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{2} x \log(x+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を行います。

$u = \log(x+1)$ と $dv = x dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x+1} dx$ 、 $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

したがって、

$\int x \log(x+1) dx = \frac{x^2}{2} \log(x+1) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x+1} dx$

$\int \frac{x^2}{2(x+1)} dx$ を計算します。

$\frac{x^2}{2(x+1)} = \frac{1}{2} \frac{x^2}{x+1}$

ここで、割り算を行うと、

$\frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{x^2}{2(x+1)} dx = \frac{1}{2} \int (x - 1 + \frac{1}{x+1}) dx = \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|) + C$

よって、

$\int x \log(x+1) dx = \frac{x^2}{2} \log(x+1) - \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|) + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} x \log(x+1) dx = [\frac{x^2}{2} \log(x+1) - \frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - x + \log|x+1|)]_{1}^{2}$

$= [\frac{x^2}{2} \log(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\log(x+1)]_{1}^{2}$

$= [\frac{4}{2} \log(3) - \frac{4}{4} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}\log(3)] - [\frac{1}{2} \log(2) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log(2)]$

$= 2\log(3) - 1 + 1 - \frac{1}{2}\log(3) - \frac{1}{2}\log(2) + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log(2)$

$= \frac{3}{2}\log(3) - \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}\log(3) - \frac{1}{4}$