定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{x^2+x}{(x^2+1)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{x^2+x}{(x^2+1)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$\int_{-1}^{1} \frac{x^2+x}{(x^2+1)^2} dx = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx + \int_{-1}^{1} \frac{x}{(x^2+1)^2} dx$

次に、右側の積分を評価します。被積分関数 $\frac{x}{(x^2+1)^2}$ は奇関数であり、積分区間 $[-1, 1]$ は原点対称なので、この積分は0になります。

$\int_{-1}^{1} \frac{x}{(x^2+1)^2} dx = 0$

したがって、求める積分は

$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx$

ここで、部分積分を使って計算します。

$f(x) = x$, $g'(x) = \frac{x}{(x^2+1)^2}$ とすると、 $f'(x) = 1$, $g(x) = -\frac{1}{2(x^2+1)}$ となります。

$\int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx = \int x \cdot \frac{x}{(x^2+1)^2} dx = x \cdot \left( -\frac{1}{2(x^2+1)} \right) - \int 1 \cdot \left( -\frac{1}{2(x^2+1)} \right) dx$

$= -\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$

$= -\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

したがって、

$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx = \left[ -\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan(x) \right]_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1}{2(1^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan(1) \right) - \left( -\frac{-1}{2((-1)^2+1)} + \frac{1}{2} \arctan(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$

$= -\frac{1}{4} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$

$= -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$

$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$