次の3つの関数の増減を調べる問題です。 (1) $f(x) = x - e^x$ (2) $f(x) = x - \log x$ (3) $f(x) = x + \sin x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)

1. 問題の内容

次の3つの関数の増減を調べる問題です。

(1) $f(x) = x - e^x$

(2) $f(x) = x - \log x$

(3) $f(x) = x + \sin x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)

2. 解き方の手順

関数の増減を調べるには、導関数を計算し、その符号を調べます。導関数が正であれば増加、負であれば減少です。

(1) $f(x) = x - e^x$

まず、導関数を計算します。

$f'(x) = 1 - e^x$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$1 - e^x = 0$ より $e^x = 1$ なので $x = 0$ です。

$x < 0$ のとき、$e^x < 1$ なので $f'(x) > 0$ (増加)。

$x > 0$ のとき、$e^x > 1$ なので $f'(x) < 0$ (減少)。

(2) $f(x) = x - \log x$

まず、導関数を計算します。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x}$

ただし、定義域は $x > 0$ です。

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$1 - \frac{1}{x} = 0$ より $\frac{1}{x} = 1$ なので $x = 1$ です。

$0 < x < 1$ のとき、$\frac{1}{x} > 1$ なので $f'(x) < 0$ (減少)。

$x > 1$ のとき、$\frac{1}{x} < 1$ なので $f'(x) > 0$ (増加)。

(3) $f(x) = x + \sin x$ (ただし、$0 \le x \le \pi$)

まず、導関数を計算します。

$f'(x) = 1 + \cos x$

次に、$f'(x)$ の符号を調べます。

$0 \le x \le \pi$ において、$-1 \le \cos x \le 1$ なので、$0 \le 1 + \cos x \le 2$ となり、$f'(x) \ge 0$ です。

$f'(x) = 0$ となるのは $\cos x = -1$ のときなので、$x = \pi$ です。しかし、$x=\pi$ の一点のみで $f'(x)=0$ であり、それ以外の範囲では $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加です。

3. 最終的な答え

(1) $x<0$ で増加、$x>0$ で減少。

(2) $0<x<1$ で減少、$x>1$ で増加。

(3) $0 \le x \le \pi$ で増加。