次の2つの関数の極値を求めます。 (1) $f(x) = |x(x+1)|$ (2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の極値を求めます。

(1) $f(x) = |x(x+1)|$

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x(x+1)|$ の場合

$f(x) = |x^2 + x|$

まず、$x(x+1) = 0$ となる $x$ を求めると、$x=0, -1$

$x<-1$のとき、$f(x) = x^2+x$

$-1<x<0$のとき、$f(x) = -x^2-x$

$x>0$のとき、$f(x) = x^2+x$

$f'(x)$を求めると、

$x<-1$のとき、$f'(x) = 2x+1$

$-1<x<0$のとき、$f'(x) = -2x-1$

$x>0$のとき、$f'(x) = 2x+1$

$f'(x)=0$となる$x$を求めると、

$2x+1=0 \implies x=-1/2$

$-2x-1=0 \implies x=-1/2$

増減表を作成する。

x | ... | -1 | ... | -1/2 | ... | 0 | ...

---|---|---|---|---|---|---|---

f'(x) | - | - | + | 0 | - | - | +

f(x) | 増加 | 0 | 減少| 1/4 | 増加 | 0 | 増加

$x=-1$で極小値0

$x=-1/2$で極大値1/4

$x=0$で極小値0

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$ の場合

定義域は$x \ge -2$

$f(x)$を場合分けする。

$-2 \le x < 0$ のとき、$f(x) = -x\sqrt{x+2}$

$x \ge 0$ のとき、$f(x) = x\sqrt{x+2}$

$f'(x)$を求める。

$-2 < x < 0$ のとき、

$f'(x) = -\sqrt{x+2} - \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{-2(x+2)-x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{-3x-4}{2\sqrt{x+2}}$

$x > 0$ のとき、

$f'(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$

$f'(x)=0$となる$x$を求める。

$\frac{-3x-4}{2\sqrt{x+2}} = 0 \implies -3x-4=0 \implies x=-\frac{4}{3}$ (これは$-2 \le x < 0$の範囲にある)

$\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}} = 0 \implies 3x+4=0 \implies x=-\frac{4}{3}$ (これは$x>0$の範囲にない)

増減表を作成する。

x | -2 | ... | -4/3 | ... | 0 | ...

---|---|---|---|---|---|---

f'(x) | | + | 0 | - | + | +

f(x) | 0 | 増加 | (4/3)(sqrt(2/3)) | 減少 | 0 | 増加

$x=-4/3$で極大値 $\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{9}$

$x=0$で極小値0

$x=-2$で極小値0

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = |x(x+1)|$ の極値：

$x=-1$で極小値0

$x=-1/2$で極大値1/4

$x=0$で極小値0

(2) $f(x) = |x|\sqrt{x+2}$ の極値：

$x=-\frac{4}{3}$で極大値 $\frac{4\sqrt{6}}{9}$

$x=0$で極小値0

$x=-2$で極小値0