与えられた定積分を計算します。積分は、積分区間 $0$ から $1/3$ で、被積分関数は $1/(3x+1)^2$ です。つまり、 $\qquad \int_{0}^{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(3x+1)^2}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は、積分区間 $0$ から $1/3$ で、被積分関数は $1/(3x+1)^2$ です。つまり、

$\qquad \int_{0}^{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(3x+1)^2}$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{(3x+1)^2} dx$ を求めます。

$u = 3x + 1$ と置換すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

したがって、

$\qquad \int \frac{1}{(3x+1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-2} du$

$\qquad = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{3u} + C = -\frac{1}{3(3x+1)} + C$

となります。

次に、定積分を計算します。

$\qquad \int_{0}^{\frac{1}{3}} \frac{dx}{(3x+1)^2} = \left[ -\frac{1}{3(3x+1)} \right]_{0}^{\frac{1}{3}}$

$\qquad = -\frac{1}{3(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)} - \left(-\frac{1}{3(3 \cdot 0 + 1)}\right)$

$\qquad = -\frac{1}{3(1+1)} + \frac{1}{3(1)}$

$\qquad = -\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$