与えられた関数 $y = \frac{x-1}{|x^2-1|}$ について考察する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{x-1}{|x^2-1|}$ について考察する。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すことを考える。$x^2 - 1$ の符号によって場合分けを行う。

場合1: $x^2 - 1 > 0$ のとき、$|x^2 - 1| = x^2 - 1$となる。

この条件は、$x^2 > 1$、つまり、$x < -1$ または $x > 1$ を意味する。

このとき、$y = \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x+1}$ (ただし、$x \neq 1$)。

$x > 1$ の範囲では、この式が成り立つ。

$x < -1$ の範囲でも、この式が成り立つ。

場合2: $x^2 - 1 < 0$ のとき、$|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$となる。

この条件は、$x^2 < 1$、つまり、$-1 < x < 1$を意味する。

このとき、$y = \frac{x-1}{1-x^2} = \frac{x-1}{(1-x)(1+x)} = \frac{-(1-x)}{(1-x)(1+x)} = -\frac{1}{x+1}$ (ただし、$x \neq 1$)。

$-1 < x < 1$ の範囲では、この式が成り立つ。

場合3: $x^2 - 1 = 0$ のとき、$x = \pm 1$。

$x = 1$のとき、$y = \frac{1-1}{|1^2 - 1|} = \frac{0}{0}$となり、定義できない。

$x = -1$のとき、$y = \frac{-1-1}{|(-1)^2 - 1|} = \frac{-2}{0}$となり、定義できない。

したがって、$x=1$ および $x=-1$ は定義域に含まれない。

まとめると、

- $x < -1$ のとき、$y = \frac{1}{x+1}$

- $-1 < x < 1$ のとき、$y = -\frac{1}{x+1}$

- $x > 1$ のとき、$y = \frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

$$

y =

\begin{cases}

\frac{1}{x+1} & (x < -1) \\

-\frac{1}{x+1} & (-1 < x < 1) \\

\frac{1}{x+1} & (x > 1)

\end{cases}

$$

ただし、$x \neq \pm 1$