与えられた関数 $f(x, r) = 5x^2 + 10xr + 6r^2$ の全微分を求める問題。そして、$5(x+r)$ が関係している？全微分とは関係なさそうだが。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, r) = 5x^2 + 10xr + 6r^2$ の全微分を求める問題。そして、$5(x+r)$ が関係している？全微分とは関係なさそうだが。

2. 解き方の手順

全微分は、多変数関数の各変数に関する偏導関数を用いて計算できます。関数 $f(x, r)$ の全微分 $df$ は次のように表されます。

$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial r} dr$

まず、関数 $f(x, r)$ を $x$ で偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (5x^2 + 10xr + 6r^2) = 10x + 10r$

次に、関数 $f(x, r)$ を $r$ で偏微分します。

$\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} (5x^2 + 10xr + 6r^2) = 10x + 12r$

したがって、全微分 $df$ は次のようになります。

$df = (10x + 10r) dx + (10x + 12r) dr$

3. 最終的な答え

全微分は、$df = (10x + 10r) dx + (10x + 12r) dr$ です。