与えられた二つの級数 (3) $2 - 4 + 6 - 8 + \dots$ と (4) $3 + \sqrt{2} + (2\sqrt{2} - 1) + (5 - 3\sqrt{2}) + \dots$ の収束・発散を調べます。

1. 問題の内容

与えられた二つの級数 (3) $2 - 4 + 6 - 8 + \dots$ と (4) $3 + \sqrt{2} + (2\sqrt{2} - 1) + (5 - 3\sqrt{2}) + \dots$ の収束・発散を調べます。

2. 解き方の手順

(3) $2 - 4 + 6 - 8 + \dots$ について

この級数は、一般項が $a_n = (-1)^{n+1} 2n$ で表される級数です。

$n$ が大きくなるにつれて、項の絶対値 $|a_n| = 2n$ は無限大に発散します。

したがって、この級数は発散します。

(4) $3 + \sqrt{2} + (2\sqrt{2} - 1) + (5 - 3\sqrt{2}) + \dots$ について

この級数の項の差を調べてみます。

第2項と第1項の差: $\sqrt{2} - 3$

第3項と第2項の差: $(2\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

第4項と第3項の差: $(5 - 3\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 1) = 6 - 5\sqrt{2}$

これらの差は等しくないので等差数列ではありません。

しかし、項の差をもう一度計算してみましょう。

$(\sqrt{2} - 1) - (\sqrt{2} - 3) = 2$

$(6 - 5\sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 1) = 7 - 6\sqrt{2}$

この数列は等差数列でも等比数列でもないように見えます。

別の方法で考えましょう。

$3, \sqrt{2}, 2\sqrt{2}-1, 5-3\sqrt{2}, \dots$

各項を $a_n = A + Bn + Cn\sqrt{2}$ と仮定して、係数 $A, B, C$ を決定することを試みます。

$n=1$ のとき、 $A + B + C\sqrt{2} = 3$

$n=2$ のとき、 $A + 2B + 2C\sqrt{2} = \sqrt{2}$

$n=3$ のとき、 $A + 3B + 3C\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-1$

これらの式を解くことにより、$A=5, B=-3, C=2$ を得ます。

したがって、$a_n = 5 - 3n + 2n\sqrt{2}$.

$a_n = 5 - 3n + 2n\sqrt{2} = 5 + (-3+2\sqrt{2})n$

一般項の絶対値は、nが大きくなるにつれて無限大に発散するので、この級数は発散します。

3. 最終的な答え

(3) 発散

(4) 発散