次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{3}}{x - 2}$ ## 解き方の手順 1. 分母が0になるので、そのまま代入することはできません。そこで、分子を有理化します。分子に $\sqrt{2x-1} + \sqrt{3}$ を掛け、分母にも同じものを掛けます。 $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{3}}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{2x-1} - \sqrt{3})(\sqrt{2x-1} + \sqrt{3})}{(x - 2)(\sqrt{2x-1} + \sqrt{3})}$

## 問題 (2)

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{3}}{x - 2}$

## 解き方の手順

1. 分母が0になるので、そのまま代入することはできません。そこで、分子を有理化します。分子に $\sqrt{2x-1} + \sqrt{3}$ を掛け、分母にも同じものを掛けます。

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x-1} - \sqrt{3}}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{2x-1} - \sqrt{3})(\sqrt{2x-1} + \sqrt{3})}{(x - 2)(\sqrt{2x-1} + \sqrt{3})}$

2. 分子を展開すると、$(\sqrt{2x-1})^2 - (\sqrt{3})^2 = (2x-1) - 3 = 2x - 4 = 2(x-2)$ となります。

$\lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)}{(x - 2)(\sqrt{2x-1} + \sqrt{3})}$

3. $x \to 2$ なので $x \neq 2$ と考え、$x-2$ で約分します。

$\lim_{x \to 2} \frac{2}{\sqrt{2x-1} + \sqrt{3}}$

4. $x$ に 2 を代入します。

$\frac{2}{\sqrt{2(2)-1} + \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

5. 分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

## 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

## 問題 (4)

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$

2. 解き方の手順

1. $x \to 3-0$ は $x$ が 3 より小さい側から 3 に近づくことを意味します。つまり、$x < 3$ なので、$x - 3 < 0$ です。したがって、$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ となります。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{|x - 3|} = \lim_{x \to 3-0} \frac{x^2 - 9}{3 - x}$

2. 分子を因数分解します。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{(x - 3)(x + 3)}{3 - x}$

3. $3 - x = -(x - 3)$ を用いて、$x-3$ で約分します。ただし、$x\neq 3$ を用いる。

$\lim_{x \to 3-0} \frac{(x - 3)(x + 3)}{-(x - 3)} = \lim_{x \to 3-0} -(x + 3)$

4. $x$ に 3 を代入します。

$-(3 + 3) = -6$

## 最終的な答え

-6