太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをします。先生は毎回手を出し、生徒はそれぞれの手を出します。先生に勝った生徒だけが勝ち残り、次のじゃんけんに参加します。あいこになった生徒と負けた生徒は次のじゃんけんには参加できません。 (1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を求めます。 (2) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求めます。 (3) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率を求めます。

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをします。先生は毎回手を出し、生徒はそれぞれの手を出します。先生に勝った生徒だけが勝ち残り、次のじゃんけんに参加します。あいこになった生徒と負けた生徒は次のじゃんけんには参加できません。

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を求めます。

(2) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求めます。

(3) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんが勝ち残る確率を求める。

先生が出す手はグー、チョキ、パーのいずれかです。太郎さんが勝ち残るためには、先生がグーを出したときに太郎さんがパーを出すか、先生がチョキを出したときに太郎さんがグーを出すか、先生がパーを出したときに太郎さんがチョキを出す必要があります。

先生が出す手によって太郎さんが勝つ手の種類が決まります。

先生の手は3通り、太郎さんの手はそのうちの1通りなので、太郎さんが先生に勝つ確率は $1/3$ です。

したがって、

$\frac{ア}{イ} = \frac{1}{3}$

(2) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率を求める。

4人の生徒から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

選ばれた2人が勝ち残り、残りの2人が負ける確率は、$(\frac{1}{3})^2 (1 - \frac{1}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2$

ちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は $_4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2$ となります。

したがって、$ウ = {}_4C_2$

(3) 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率を求める。

ちょうど2人が勝ち残るパターンは $_4C_2 = 6$通りです。

そのうち、太郎さんが勝ち残っているパターンは、太郎さんと残り3人のうち誰か1人が勝ち残る場合なので、$_3C_1 = 3$通りです。

したがって、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$となります。

$\frac{エ}{オ} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

ア/イ = 1/3

ウ = 4C2

エ/オ = 1/2