不等式 $2ax \leq 6x + 1$ の解が $x \geq -6$ となるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2ax \leq 6x + 1$ の解が $x \geq -6$ となるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2ax \leq 6x + 1$ を変形して、$x$ について解きます。

$2ax - 6x \leq 1$

$(2a - 6)x \leq 1$

ここで、$2a - 6$ の符号によって場合分けをします。

(1) $2a - 6 > 0$ のとき、つまり $a > 3$ のとき、不等式は $x \leq \frac{1}{2a - 6}$ となります。しかし、問題文では解が $x \geq -6$ となると言っているので、この場合は条件を満たしません。

(2) $2a - 6 = 0$ のとき、つまり $a = 3$ のとき、不等式は $0x \leq 1$ となり、これは常に成り立ちます。したがって、$x$ はすべての実数となります。しかし、問題文では解が $x \geq -6$ となると言っているので、この場合は条件を満たしません。

(3) $2a - 6 < 0$ のとき、つまり $a < 3$ のとき、不等式は $x \geq \frac{1}{2a - 6}$ となります。

問題文より、この解が $x \geq -6$ と一致する必要があります。したがって、

$\frac{1}{2a - 6} = -6$

$1 = -6(2a - 6)$

$1 = -12a + 36$

$12a = 35$

$a = \frac{35}{12}$

これは $a < 3$ の条件を満たしています ($3 = \frac{36}{12}$ なので)。

3. 最終的な答え

$a = \frac{35}{12}$