与えられた式 $(a+b)^3 - 8b^3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)^3 - 8b^3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、$A^3 - B^3$ の形をしています。ここで、$A = a+b$、$B = 2b$ です。

$A^3 - B^3$ の因数分解の公式は、

$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

です。この公式を適用します。

$A-B = (a+b) - 2b = a - b$

$A^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$AB = (a+b)(2b) = 2ab + 2b^2$

$B^2 = (2b)^2 = 4b^2$

よって、

$A^2 + AB + B^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (2ab + 2b^2) + 4b^2 = a^2 + 4ab + 7b^2$

したがって、

$(a+b)^3 - 8b^3 = (a-b)(a^2 + 4ab + 7b^2)$

3. 最終的な答え

$(a-b)(a^2 + 4ab + 7b^2)$