初項が66の等差数列 $\{a_n\}$ において、第10項から第25項までの和が0である。初項から第n項までの和を $S_n$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $a_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ の値を求めよ。 (3) $S_n$ が最大となる $n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

初項が66の等差数列 $\{a_n\}$ において、第10項から第25項までの和が0である。初項から第n項までの和を $S_n$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $a_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ の値を求めよ。

(3) $S_n$ が最大となる $n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の和の公式を利用して、公差を求める。その後、一般項を求める。

第10項から第25項までの和が0であるから、

$\frac{1}{2} \cdot (25-10+1) (a_{10} + a_{25}) = 0$

$16 (a_{10} + a_{25}) = 0$

$a_{10} + a_{25} = 0$

$a_{10} = a_1 + 9d$, $a_{25} = a_1 + 24d$ より、

$a_1 + 9d + a_1 + 24d = 0$

$2a_1 + 33d = 0$

$2(66) + 33d = 0$

$132 + 33d = 0$

$33d = -132$

$d = -4$

したがって、一般項 $a_n$ は

$a_n = a_1 + (n-1)d = 66 + (n-1)(-4) = 66 - 4n + 4 = 70 - 4n$

(2) $a_n < 0$ となる最小の自然数 $n$ を求める。

$a_n = 70 - 4n < 0$

$70 < 4n$

$n > \frac{70}{4} = \frac{35}{2} = 17.5$

$n$ は自然数なので、最小の $n$ は18。

(3) $S_n$ が最大となる $n$ の値を求める。$a_n > 0$ となる最大の $n$ を求めることと同じ。

$a_n = 70 - 4n > 0$

$70 > 4n$

$n < \frac{70}{4} = \frac{35}{2} = 17.5$

$n$ は自然数なので、最大の $n$ は17。

また、$a_{17} = 70 - 4(17) = 70 - 68 = 2$

$a_{18} = 70 - 4(18) = 70 - 72 = -2$

$S_n$ が最大となるのは $a_n$ が正である最後の項まで足し合わせたときなので、$n=17$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 70 - 4n$

(2) $n = 18$

(3) $n = 17$