初項が5、公比が1.2の等比数列の初項から第n項までの和を$S_n$とする。$S_n > 600$が成り立つような最小の自然数$n$を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.301$, $\log_{10}3 = 0.477$とする。

1. 問題の内容

初項が5、公比が1.2の等比数列の初項から第n項までの和を$S_n$とする。$S_n > 600$が成り立つような最小の自然数$n$を求めよ。ただし、$\log_{10}2 = 0.301$, $\log_{10}3 = 0.477$とする。

2. 解き方の手順

まず、$S_n$を求める。等比数列の和の公式より、

$$S_n = \frac{5(1.2^n - 1)}{1.2 - 1} = \frac{5(1.2^n - 1)}{0.2} = 25(1.2^n - 1)$$

次に、$S_n > 600$となる条件を考える。

$$25(1.2^n - 1) > 600$$

$$1.2^n - 1 > \frac{600}{25} = 24$$

$$1.2^n > 25$$

両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10}(1.2^n) > \log_{10}25$$

$$n \log_{10}(1.2) > \log_{10}(5^2) = 2 \log_{10}5$$

ここで、$\log_{10}5 = \log_{10}(\frac{10}{2}) = \log_{10}10 - \log_{10}2 = 1 - 0.301 = 0.699$

また、$\log_{10}1.2 = \log_{10}\frac{12}{10} = \log_{10}12 - \log_{10}10 = \log_{10}(2^2 \cdot 3) - 1 = 2\log_{10}2 + \log_{10}3 - 1 = 2(0.301) + 0.477 - 1 = 0.602 + 0.477 - 1 = 1.079 - 1 = 0.079$

したがって、

$$n(0.079) > 2(0.699)$$

$$n > \frac{2(0.699)}{0.079} = \frac{1.398}{0.079} = \frac{1398}{79} \approx 17.696$$

したがって、$n$は自然数なので、$n \geq 18$

最小の$n$は18である。

3. 最終的な答え

18