関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2) = 9$ と $f^{-1}(1) = -2$ が与えられています。定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax+1}{2x+b}$ とその逆関数 $f^{-1}(x)$ について、$f(2) = 9$ と $f^{-1}(1) = -2$ が与えられています。定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(2) = 9$ を用いて $a$ と $b$ の関係式を求めます。

$f(2) = \frac{2a+1}{4+b} = 9$

$2a + 1 = 9(4+b)$

$2a + 1 = 36 + 9b$

$2a - 9b = 35$ … (1)

次に、$f^{-1}(1) = -2$ を用いて $a$ と $b$ の関係式を求めます。

これは $f(-2) = 1$ と同値なので、

$f(-2) = \frac{-2a+1}{-4+b} = 1$

$-2a + 1 = -4 + b$

$-2a - b = -5$

$2a + b = 5$ … (2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

$2a - 9b = 35$

$2a + b = 5$

(1) - (2) より、

$-10b = 30$

$b = -3$

(2)に $b=-3$ を代入して、

$2a - 3 = 5$

$2a = 8$

$a = 4$

逆関数の式を求めます。

$y = \frac{ax+1}{2x+b}$

$y(2x+b) = ax+1$

$2xy + by = ax + 1$

$2xy - ax = 1 - by$

$x(2y - a) = 1 - by$

$x = \frac{1-by}{2y-a}$

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{1-bx}{2x-a}$

問題より、$f^{-1}(1) = -2$なので、

$f^{-1}(1) = \frac{1-b}{2-a} = -2$

$1-b = -2(2-a) = -4+2a$

$1-b = -4+2a$

$2a + b = 5$ ... (2)

3. 最終的な答え

$a = 4$, $b = -3$