次の4つの数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 4$ (2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ (3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ (4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$

1. 問題の内容

次の4つの数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = -1$, $a_{n+1} = a_n + 4$

(2) $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$

(3) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$

(4) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = -2a_n + 6$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = a_n + 4$ は等差数列の漸化式です。初項が $-1$、公差が $4$ なので、

$a_n = a_1 + (n-1)d = -1 + (n-1)4 = -1 + 4n - 4 = 4n - 5$

(2) $a_{n+1} = 3a_n$ は等比数列の漸化式です。初項が $2$、公比が $3$ なので、

$a_n = a_1 r^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_{n+1} = a_n + n(n+1)$ は階差数列の漸化式です。階差数列を $b_n = n(n+1)$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k)$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} = 1 + \frac{(n-1)n}{6} (2n-1 + 3) = 1 + \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = 1 + \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = 1 + \frac{n(n^2-1)}{3} = 1 + \frac{n^3 - n}{3} = \frac{n^3 - n + 3}{3}$

(4) $a_{n+1} = -2a_n + 6$ は特殊解型の漸化式です。特性方程式 $x = -2x + 6$ を解くと、 $3x = 6$ より $x=2$

$a_{n+1} - 2 = -2(a_n - 2)$ と変形できるので、 $b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = -2 b_n$

$b_1 = a_1 - 2 = 0 - 2 = -2$

$b_n = b_1 (-2)^{n-1} = -2 (-2)^{n-1} = (-2)^n$

$a_n = b_n + 2 = (-2)^n + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n - 5$

(2) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{n^3 - n + 3}{3}$

(4) $a_n = (-2)^n + 2$