$\frac{15}{n}$ と $\frac{420}{n}$ がともに整数となるような自然数 $n$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{15}{n}$ と $\frac{420}{n}$ がともに整数となるような自然数 $n$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n$ は15の約数でなければならないので、15の約数を求めます。

$15=3 \times 5$ なので、15の約数は1, 3, 5, 15です。

$n$ は420の約数でなければならないので、420の約数を求めます。

$420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$ なので、420の約数は1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420です。

$\frac{15}{n}$ と $\frac{420}{n}$ がともに整数となるためには、$n$ は15の約数であり、かつ420の約数である必要があります。

したがって、15の約数と420の約数の共通部分を求めます。

15の約数: 1, 3, 5, 15

420の約数: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 28, 30, 35, 42, 60, 70, 84, 105, 140, 210, 420

共通の約数は1, 3, 5, 15です。

したがって、条件を満たす $n$ は1, 3, 5, 15の4つです。

3. 最終的な答え

4つ