51から100までの自然数について、以下の数を求めます。 (1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数 (2) 3で割り切れるが5では割り切れない数 (3) 3でも5でも割り切れない数

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

51から100までの自然数について、以下の数を求めます。

(1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数

(2) 3で割り切れるが5では割り切れない数

(3) 3でも5でも割り切れない数

2. 解き方の手順

まず、51から100までの自然数の個数を求めます。

100 - 51 + 1 = 50 個

次に、それぞれの条件に該当する数を求めます。

(1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数

3で割り切れる数の個数を$n(3)$、5で割り切れる数の個数を$n(5)$、3でも5でも割り切れる数の個数を$n(3 \cap 5)$とすると、求める個数は$n(3 \cup 5) = n(3) + n(5) - n(3 \cap 5)$で計算できます。

51から100までの自然数の中で、

3で割り切れる数：51, 54, ..., 99。個数は$\frac{99-51}{3}+1 = \frac{48}{3}+1 = 16+1 = 17$個。つまり、$n(3) = 17$。

5で割り切れる数：55, 60, ..., 100。個数は$\frac{100-55}{5}+1 = \frac{45}{5}+1 = 9+1 = 10$個。つまり、$n(5) = 10$。

3でも5でも割り切れる数（15で割り切れる数）：60, 75, 90。個数は$\frac{90-60}{15}+1 = \frac{30}{15}+1 = 2+1 = 3$個。つまり、$n(3 \cap 5) = 3$。

したがって、3と5の少なくとも一方で割り切れる数の個数は、

$n(3 \cup 5) = n(3) + n(5) - n(3 \cap 5) = 17 + 10 - 3 = 24$個

(2) 3で割り切れるが5では割り切れない数

3で割り切れる数$n(3)$から、3でも5でも割り切れる数$n(3 \cap 5)$を引けばよい。

求める個数は $n(3) - n(3 \cap 5) = 17 - 3 = 14$個

(3) 3でも5でも割り切れない数

51から100までの自然数全体の個数から、3と5の少なくとも一方で割り切れる数を引けばよい。

求める個数は $50 - n(3 \cup 5) = 50 - 24 = 26$個

3. 最終的な答え

(1) 3と5の少なくとも一方で割り切れる数：24個

(2) 3で割り切れるが5では割り切れない数：14個

(3) 3でも5でも割り切れない数：26個