(1) 56, 168, 252 の最大公約数と最小公倍数を求める問題。 (2) 整数 $a$, $b$ について、$a$ を 8 で割ると 5 余り、$b$ を 8 で割ると 7 余るとき、$a+b$ を 8 で割った余りと、$ab$ を 8 で割った余りを求める問題。 (3) 248 と 93 の最大公約数を、互除法を用いて求める問題。

1. 問題の内容

(1) 56, 168, 252 の最大公約数と最小公倍数を求める問題。

(2) 整数 $a$, $b$ について、$a$ を 8 で割ると 5 余り、$b$ を 8 で割ると 7 余るとき、$a+b$ を 8 で割った余りと、$ab$ を 8 で割った余りを求める問題。

(3) 248 と 93 の最大公約数を、互除法を用いて求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

56 = $2^3 \times 7$

168 = $2^3 \times 3 \times 7$

252 = $2^2 \times 3^2 \times 7$

最大公約数: $2^2 \times 7 = 4 \times 7 = 28$

最小公倍数: $2^3 \times 3^2 \times 7 = 8 \times 9 \times 7 = 504$

(2)

$a = 8m + 5$

$b = 8n + 7$ (m, n は整数)

$a + b = 8m + 5 + 8n + 7 = 8(m+n) + 12 = 8(m+n+1) + 4$

よって、$a+b$ を 8 で割った余りは 4

$ab = (8m + 5)(8n + 7) = 64mn + 56m + 40n + 35 = 8(8mn + 7m + 5n + 4) + 3$

よって、$ab$ を 8 で割った余りは 3

(3)

互除法を用いて 248 と 93 の最大公約数を求める。

248 = 93 * 2 + 62

93 = 62 * 1 + 31

62 = 31 * 2 + 0

したがって、248 と 93 の最大公約数は 31

3. 最終的な答え

[1]

最大公約数は 28

最小公倍数は 504

[2]

$a+b$ を 8 で割ったときの余りは 4

$ab$ を 8 で割ったときの余りは 3

[3]

248 = 93 * 2 + 62

93 = 62 * 1 + 31

62 = 31 * 2 + 0

したがって、248 と 93 の最大公約数は 31