## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた硬貨を使って支払える金額の種類を求める問題です。

(1) 100円硬貨5枚, 50円硬貨1枚, 10円硬貨3枚

(2) 100円硬貨3枚, 50円硬貨3枚, 10円硬貨3枚

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2. 解き方の手順

各硬貨の枚数と金額の組み合わせを考え、総数を求めます。ただし、0円の場合を除外します。また、重複する金額は1つとして数えます。

(1) 100円硬貨5枚, 50円硬貨1枚, 10円硬貨3枚の場合

* 100円硬貨の選び方：0枚～5枚の6通り

* 50円硬貨の選び方：0枚～1枚の2通り

* 10円硬貨の選び方：0枚～3枚の4通り

よって、金額の組み合わせは $6 \times 2 \times 4 = 48$ 通りです。

ただし、すべて0枚の場合は0円となるため、これを除外します。

よって、$48 - 1 = 47$ 通りです。

(2) 100円硬貨3枚, 50円硬貨3枚, 10円硬貨3枚の場合

この場合、100円硬貨と50円硬貨を両替することを考えます。

まず、50円硬貨を100円硬貨に両替することを考えます。50円硬貨3枚は150円となり、100円硬貨1枚と50円硬貨1枚に替えられます。

したがって、100円硬貨は最大で4枚と考えることができます。しかし、すべての金額を表現できるわけではありません。

より簡単な方法として、まず単純にそれぞれの硬貨の組み合わせ数を数え上げます。

* 100円硬貨の選び方：0枚～3枚の4通り

* 50円硬貨の選び方：0枚～3枚の4通り

* 10円硬貨の選び方：0枚～3枚の4通り

よって、金額の組み合わせは $4 \times 4 \times 4 = 64$ 通りです。

ただし、すべて0枚の場合は0円となるため、これを除外します。

よって、$64 - 1 = 63$ 通りです。

ここで、50円硬貨2枚で100円になるため、単純に組み合わせを計算するだけでは重複が発生する可能性があります。たとえば、100円硬貨1枚と50円硬貨2枚は、100円硬貨3枚として支払うことができます。

10円硬貨は100円、50円に換算できないのでそのまま考えると、10円硬貨0枚のとき、10円硬貨1枚のとき、10円硬貨2枚のとき、10円硬貨3枚のときで場合分けして考えると、重複なく数えることができます。

例えば、10円硬貨0枚のときは、100円硬貨の枚数と50円硬貨の枚数の組み合わせによって、金額が決まります。

10円硬貨1枚のときは、同様に100円硬貨の枚数と50円硬貨の枚数の組み合わせによって金額が決まりますが、10円硬貨0枚のときと重複する金額がないか確認する必要があります。

この方法で地道に数え上げることで、重複なく金額の種類を求めることができます。

別の考え方として、すべて10円に換算することを考えます。

100円硬貨3枚は300円なので、10円硬貨30枚。

50円硬貨3枚は150円なので、10円硬貨15枚。

10円硬貨3枚は10円硬貨3枚。

合計すると、10円硬貨48枚となります。

ここから、支払える金額を考えます。0円は除く必要があります。

10円硬貨1枚から48枚までの金額を支払うことができるので、48通りとなります。

しかし、50円硬貨3枚で150円、100円硬貨3枚で300円となるため、すべて10円に換算してしまうと、数え上げが難しくなります。

地道に計算した場合、63通りのうち、重複する組み合わせを削除する必要があります。

100円硬貨の枚数を$x$、50円硬貨の枚数を$y$、10円硬貨の枚数を$z$としたとき、

$100x + 50y + 10z$で表される金額が何通りあるかを数えます。

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3. 最終的な答え

(1) 47通り

(2) 48通り