100から500までの自然数について、以下の個数を求めます。 (1) 6の倍数の個数 (2) 8の倍数の個数 (3) 6の倍数または8の倍数の個数 (4) 6の倍数であるが8の倍数でない数の個数 (5) 6の倍数でも8の倍数でもない数の個数

1. 問題の内容

100から500までの自然数について、以下の個数を求めます。

(1) 6の倍数の個数

(2) 8の倍数の個数

(3) 6の倍数または8の倍数の個数

(4) 6の倍数であるが8の倍数でない数の個数

(5) 6の倍数でも8の倍数でもない数の個数

2. 解き方の手順

まず、100から500までの自然数全体の集合を全体集合$U$とし、$U$の部分集合で、6の倍数全体の集合を$A$、8の倍数全体の集合を$B$とします。

(1) 6の倍数

100以上500以下の6の倍数の個数を求めます。

$\lfloor \frac{500}{6} \rfloor = 83$

$\lfloor \frac{99}{6} \rfloor = 16$

よって、6の倍数の個数は$83 - 16 = 67$個です。

(2) 8の倍数

100以上500以下の8の倍数の個数を求めます。

$\lfloor \frac{500}{8} \rfloor = 62$

$\lfloor \frac{99}{8} \rfloor = 12$

よって、8の倍数の個数は$62 - 12 = 50$個です。

(3) 6の倍数または8の倍数

$A \cup B$の要素数を求めます。包含と排除の原理より、

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$A \cap B$は6の倍数かつ8の倍数なので、6と8の最小公倍数である24の倍数の個数を求めます。

$\lfloor \frac{500}{24} \rfloor = 20$

$\lfloor \frac{99}{24} \rfloor = 4$

よって、24の倍数の個数は$20 - 4 = 16$個です。

したがって、$|A \cup B| = 67 + 50 - 16 = 101$個です。

(4) 6の倍数であるが8の倍数でない数

$A \cap B^c$の要素数を求めます。これは$A$から$A \cap B$の要素数を引いたものに等しいです。

$|A \cap B^c| = |A| - |A \cap B| = 67 - 16 = 51$個です。

(5) 6の倍数でも8の倍数でもない数

$(A \cup B)^c$の要素数を求めます。全体集合$U$の要素数は$500 - 100 + 1 = 401$個なので、

$|(A \cup B)^c| = |U| - |A \cup B| = 401 - 101 = 300$個です。

3. 最終的な答え

(1) 67個

(2) 50個

(3) 101個

(4) 51個

(5) 300個