与えられた8つの式を因数分解する問題です。今回は、問題番号(3),(4),(5),(6)を解きます。 問題(3): $\frac{a^2}{16}-1$ 問題(4): $\frac{1}{4}-x+x^2$ 問題(5): $2x^3 - 6x^2y - 56xy^2$ 問題(6): $9a^2b+30ab^2+9b^3$

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解する問題です。今回は、問題番号(3),(4),(5),(6)を解きます。

問題(3): $\frac{a^2}{16}-1$

問題(4): $\frac{1}{4}-x+x^2$

問題(5): $2x^3 - 6x^2y - 56xy^2$

問題(6): $9a^2b+30ab^2+9b^3$

2. 解き方の手順

問題(3): $\frac{a^2}{16}-1$

これは二乗の差の形 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$\frac{a^2}{16} = (\frac{a}{4})^2$ であり、$1 = 1^2$ であるから、

$\frac{a^2}{16}-1 = (\frac{a}{4})^2 - 1^2 = (\frac{a}{4}+1)(\frac{a}{4}-1)$

問題(4): $\frac{1}{4}-x+x^2$

これは、$x^2 - x + \frac{1}{4}$ と並び替えてから考えます。

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ であることに注意すると、これは $(x - \frac{1}{2})^2$ となります。

$\frac{1}{4}-x+x^2 = x^2-x+\frac{1}{4} = (x-\frac{1}{2})^2$

問題(5): $2x^3 - 6x^2y - 56xy^2$

まず、共通因数 $2x$ をくくりだします。

$2x^3 - 6x^2y - 56xy^2 = 2x(x^2 - 3xy - 28y^2)$

次に、$x^2 - 3xy - 28y^2$ を因数分解します。

$x^2 - 3xy - 28y^2 = (x - 7y)(x + 4y)$

したがって、

$2x^3 - 6x^2y - 56xy^2 = 2x(x - 7y)(x + 4y)$

問題(6): $9a^2b+30ab^2+9b^3$

まず、共通因数 $3b$ をくくりだします。

$9a^2b+30ab^2+9b^3 = 3b(3a^2 + 10ab + 3b^2)$

次に、$3a^2 + 10ab + 3b^2$ を因数分解します。

$3a^2 + 10ab + 3b^2 = (3a + b)(a + 3b)$

したがって、

$9a^2b+30ab^2+9b^3 = 3b(3a + b)(a + 3b)$

3. 最終的な答え

問題(3): $(\frac{a}{4}+1)(\frac{a}{4}-1)$

問題(4): $(x-\frac{1}{2})^2$

問題(5): $2x(x - 7y)(x + 4y)$

問題(6): $3b(3a + b)(a + 3b)$