問題は、循環小数で表された数の計算を行うことです。 (1) $0.1\dot{2}\dot{3} \times 3.\dot{6}$ を計算し、結果を分数で表す。 (2) $0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4}$ を計算し、結果を分数で表す。

1. 問題の内容

問題は、循環小数で表された数の計算を行うことです。

(1) $0.1\dot{2}\dot{3} \times 3.\dot{6}$ を計算し、結果を分数で表す。

(2) $0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4}$ を計算し、結果を分数で表す。

2. 解き方の手順

(1) $0.1\dot{2}\dot{3}$ を分数で表す。$x = 0.1\dot{2}\dot{3}$ とおくと、 $1000x = 123.\dot{2}\dot{3}$ と $10x = 1.\dot{2}\dot{3}$ となる。

$1000x - 10x = 123.\dot{2}\dot{3} - 1.\dot{2}\dot{3}$ より、$990x = 122$ なので、$x = \frac{122}{990} = \frac{61}{495}$ となる。

次に、$3.\dot{6}$ を分数で表す。$y = 3.\dot{6}$ とおくと、$10y = 36.\dot{6}$ となり、$10y - y = 36.\dot{6} - 3.\dot{6}$ より、$9y = 33$ なので、$y = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$ となる。

したがって、$0.1\dot{2}\dot{3} \times 3.\dot{6} = \frac{61}{495} \times \frac{11}{3} = \frac{61}{45 \times 11} \times \frac{11}{3} = \frac{61}{45 \times 3} = \frac{61}{135}$

(2) $0.3\dot{1}\dot{2}$ を分数で表す。$x = 0.3\dot{1}\dot{2}$ とおくと、$1000x = 312.\dot{1}\dot{2}$ と $10x = 3.\dot{1}\dot{2}$ となる。

$1000x - 10x = 312.\dot{1}\dot{2} - 3.\dot{1}\dot{2}$ より、$990x = 309$ なので、$x = \frac{309}{990} = \frac{103}{330}$ となる。

次に、$0.1\dot{3}2\dot{4}$ を分数で表す。$y = 0.1\dot{3}2\dot{4}$ とおくと、$10000y = 1324.\dot{3}2\dot{4}$ と $10y = 1.\dot{3}2\dot{4}$ となる。

$10000y - 10y = 1324.\dot{3}2\dot{4} - 1.\dot{3}2\dot{4}$ より、$9990y = 1323$ なので、$y = \frac{1323}{9990} = \frac{147}{1110} = \frac{49}{370}$ となる。

したがって、$0.3\dot{1}\dot{2} - 0.1\dot{3}2\dot{4} = \frac{103}{330} - \frac{49}{370} = \frac{103 \times 37}{330 \times 37} - \frac{49 \times 33}{370 \times 33} = \frac{3811}{12210} - \frac{1617}{12210} = \frac{2194}{12210} = \frac{1097}{6105}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{61}{135}$

(2) $\frac{1097}{6105}$