30以下の自然数全体を全体集合とする。 3の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとする。 このとき、$n(A \cup B)$を求めなさい。

1. 問題の内容

30以下の自然数全体を全体集合とする。

3の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとする。

このとき、$n(A \cup B)$を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、集合Aの要素数$n(A)$を求める。30以下の3の倍数は、3, 6, 9, ..., 30 である。

これは、3 × 1, 3 × 2, 3 × 3, ..., 3 × 10 と表せるので、全部で10個ある。

よって、$n(A) = 10$

次に、集合Bの要素数$n(B)$を求める。30以下の5の倍数は、5, 10, 15, ..., 30 である。

これは、5 × 1, 5 × 2, 5 × 3, ..., 5 × 6 と表せるので、全部で6個ある。

よって、$n(B) = 6$

次に、$A \cap B$ の要素数 $n(A \cap B)$を求める。$A \cap B$は3の倍数かつ5の倍数、つまり15の倍数の集合である。

30以下の15の倍数は、15, 30 である。

よって、$n(A \cap B) = 2$

最後に、$n(A \cup B)$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 10 + 6 - 2 = 14$

3. 最終的な答え

14