複素関数 $f(z) = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}$ が、$(x, y) \neq (0, 0)$ において、コーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分可能かどうかを判断する問題です。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = \frac{y + ix}{x^2 + y^2}$ が、$(x, y) \neq (0, 0)$ において、コーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分可能かどうかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(z)$ を $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ の形に分解します。

$f(z) = \frac{y}{x^2 + y^2} + i\frac{x}{x^2 + y^2}$ なので、

$u(x, y) = \frac{y}{x^2 + y^2}$

$v(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$

となります。

次に、偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{(x^2 + y^2) - y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) - x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

コーシー・リーマンの関係式は、

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

です。

偏微分を代入すると、

$\frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} = -\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$

となり、コーシー・リーマンの関係式が成り立ちます。

また、これらの偏微分は $(x, y) \neq (0, 0)$ で連続です。

したがって、$f(z)$ は $(x, y) \neq (0, 0)$ で微分可能です。

3. 最終的な答え

$f(z)$ は $(x, y) \neq (0, 0)$ で微分可能です。