複素関数 $f(z) = \frac{x - iy}{x + iy}$ (ただし $(x, y) \neq (0, 0)$) がコーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分可能かどうかを判断する問題です。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = \frac{x - iy}{x + iy}$ (ただし $(x, y) \neq (0, 0)$) がコーシー・リーマンの微分方程式を用いて微分可能かどうかを判断する問題です。

2. 解き方の手順

$f(z) = \frac{x - iy}{x + iy}$ を $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ の形に変形します。まず、分母の有理化を行います。

$f(z) = \frac{x - iy}{x + iy} = \frac{(x - iy)(x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x^2 - 2ixy - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} - i \frac{2xy}{x^2 + y^2}$

したがって、$u(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ と $v(x, y) = - \frac{2xy}{x^2 + y^2}$ となります。

次に、コーシー・リーマンの関係式を確認します。

コーシー・リーマンの関係式は、以下の2つの式で表されます。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$

各偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{4xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{2x(x^2 + y^2) - 2xy(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = - \frac{2x^3 + 2xy^2 - 4xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = - \frac{2x^3 - 2xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2y(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2)2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2yx^2 - 2y^3 - 2yx^2 + 2y^3}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-4yx^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$\frac{\partial v}{\partial x} = - \frac{2y(x^2 + y^2) - 2xy(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = - \frac{2yx^2 + 2y^3 - 4x^2y}{(x^2 + y^2)^2} = - \frac{-2yx^2 + 2y^3}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2}$

コーシー・リーマンの関係式が成立するかを確認します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \Rightarrow \frac{4xy^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x(y^2 - x^2)}{(x^2 + y^2)^2} \Rightarrow 2xy^2 = xy^2 - x^3 \Rightarrow xy^2 = -x^3 \Rightarrow x(y^2 + x^2) = 0$

$\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x} \Rightarrow \frac{-4yx^2}{(x^2 + y^2)^2} = - \frac{2y(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2} \Rightarrow -2x^2y = -yx^2 + y^3 \Rightarrow -yx^2 = y^3 \Rightarrow y(x^2 + y^2) = 0$

したがって、$x(x^2 + y^2) = 0$ かつ $y(x^2 + y^2) = 0$ である必要があります。

$x^2 + y^2 \neq 0$ なので、$x = 0$ かつ $y = 0$ でなければなりません。

しかし、$(x, y) \neq (0, 0)$ であるため、コーシー・リーマンの関係式は成立しません。

3. 最終的な答え

$f(z) = \frac{x - iy}{x + iy}$ は微分可能ではありません。