複素関数 $f(z) = \frac{|z|^2}{z}$ が、$z \neq 0$ において微分可能かどうかを、コーシー・リーマンの関係式を用いて判定する問題です。

1. 問題の内容

複素関数 $f(z) = \frac{|z|^2}{z}$ が、$z \neq 0$ において微分可能かどうかを、コーシー・リーマンの関係式を用いて判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = x + iy$ とおくと、 $|z|^2 = x^2 + y^2$ なので、

$f(z) = \frac{x^2+y^2}{x+iy} = \frac{(x^2+y^2)(x-iy)}{(x+iy)(x-iy)} = \frac{(x^2+y^2)(x-iy)}{x^2+y^2} = x - iy$

ここで、$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$ とすると、$u(x,y) = x$ 、$v(x,y) = -y$ となります。

次に、コーシー・リーマンの関係式を確認します。コーシー・リーマンの関係式は、

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

です。

偏微分を計算すると、

$\frac{\partial u}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial v}{\partial y} = -1$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

したがって、$\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ なので、コーシー・リーマンの関係式は満たされません。

3. 最終的な答え

コーシー・リーマンの関係式を満たさないため、$f(z) = \frac{|z|^2}{z}$ は $z \neq 0$ において微分可能ではありません。