コーシー・リーマンの微分方程式を用いて、関数 $f(z) = x + iy$ が微分可能かどうかを $(x,y) \neq (0,0)$ の条件下で判断する問題です。

1. 問題の内容

コーシー・リーマンの微分方程式を用いて、関数 $f(z) = x + iy$ が微分可能かどうかを $(x,y) \neq (0,0)$ の条件下で判断する問題です。

2. 解き方の手順

$f(z) = x + iy$ を $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ と表すと、

$u(x, y) = x$

$v(x, y) = y$

となります。

コーシー・リーマンの方程式は以下の通りです。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

それぞれの偏微分を計算します。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1$

コーシー・リーマンの方程式に代入すると、

$1 = 1$

$0 = -0$

となり、コーシー・リーマンの方程式は満たされます。

しかし、$f'(z)$を計算すると、

$f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = 1 + i(0) = 1$

$f'(z) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} = 1 - i(0) = 1$

となり、 $f'(z)$は存在し、連続です。

したがって、$f(z) = x+iy = \bar{z}$は$(x,y) \neq (0,0)$を含む全ての点で微分可能です。

しかし、複素微分可能性は、コーシー・リーマンの条件を満たすことだけでなく、偏導関数が連続であることも必要です。

$f(z)=x+iy = \bar{z}$の偏導関数は全て定数であり連続です。したがって、

$f(z)$は$(x,y) \neq (0,0)$の全域で微分可能です。

しかし、$f(z)=\bar{z}$は正則関数ではありません。

コーシー・リーマンの方程式を満たすことと、関数が微分可能であることは同値です。関数が正則であるためには、その関数が定義域の全ての点で微分可能である必要があります。

3. 最終的な答え

$f(z) = x + iy$ は $(x,y) \neq (0,0)$ で微分可能です。