$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を計算して、できるだけ簡単な形で表してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ を計算して、できるだけ簡単な形で表してください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形になることを期待して、$(a+b) - 2\sqrt{ab}$ の形を作ります。

$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{12 - 2 \cdot 3\sqrt{3}}$

$3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$ なので、

$\sqrt{12 - 2 \sqrt{27}}$ となります。

ここで、$a + b = 12$ かつ $ab = 27$ となるような $a, b$ を探します。

$a > b$ とすると、$a = 9$, $b = 3$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{12 - 2\sqrt{27}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{3}$