整式 $x^3 - x + 1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x+2$、余りが $2x-1$ であるとき、整式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^3 - x + 1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x+2$、余りが $2x-1$ であるとき、整式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の基本公式は以下の通りです。

$$$$

割られる数 = 割る数 \times 商 + 余り

$$$$

この問題では、割られる数が $x^3 - x + 1$、割る数が $B$、商が $x+2$、余りが $2x-1$ です。

したがって、以下の式が成り立ちます。

$$$$

x^3 - x + 1 = B(x+2) + (2x-1)

$$$$

$B$ を求めるために、上記の式を $B$ について解きます。

まず、$2x-1$ を左辺に移項します。

$$$$

x^3 - x + 1 - (2x-1) = B(x+2)

$$$$

$$$$

x^3 - x + 1 - 2x + 1 = B(x+2)

$$$$

$$$$

x^3 - 3x + 2 = B(x+2)

$$$$

次に、両辺を $x+2$ で割ります。

$$$$

B = \frac{x^3 - 3x + 2}{x+2}

$$$$

$x^3 - 3x + 2$ を $x+2$ で割ります。組立除法を使うこともできますが、ここでは筆算による多項式の割り算を行います。

$$$$

\require{enclose}

\begin{array}{r}

x^2 - 2x + 1 \\

x+2 \enclose{longdiv}{x^3 + 0x^2 - 3x + 2} \\

\underline{x^3 + 2x^2} \\

-2x^2 - 3x \\

\underline{-2x^2 - 4x} \\

x + 2 \\

\underline{x + 2} \\

0

\end{array}

$$$$

したがって、

$$$$

\frac{x^3 - 3x + 2}{x+2} = x^2 - 2x + 1

$$$$

よって、$B = x^2 - 2x + 1$。これは $(x-1)^2$ とも書けます。

3. 最終的な答え

$B = x^2 - 2x + 1$