3次方程式 $x^3 - (a^2 - 1)x - a = 0$ の実数解がただ1つであるように、実数 $a$ の範囲を求める問題です。ただし、重解は1つと数えます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - (a^2 - 1)x - a = 0$ の実数解がただ1つであるように、実数 $a$ の範囲を求める問題です。ただし、重解は1つと数えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - (a^2 - 1)x - a = 0$ とおきます。

$x = a$ を代入すると、$f(a) = a^3 - (a^2 - 1)a - a = a^3 - a^3 + a - a = 0$ となり、$x = a$ は与えられた方程式の解であることがわかります。

したがって、$f(x)$ は $(x - a)$ を因数に持ちます。そこで、$f(x)$ を $(x - a)$ で割ります。

$f(x) = (x - a)(x^2 + ax + 1)$

となります。

ここで、$x^2 + ax + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = a^2 - 4$

となります。

3次方程式 $f(x) = 0$ の実数解がただ1つであるためには、以下の2つの場合が考えられます。

(1) $x^2 + ax + 1 = 0$ が実数解を持たない場合。

これは、$D < 0$ の場合に相当します。

$a^2 - 4 < 0$ より、 $-2 < a < 2$ となります。

(2) $x^2 + ax + 1 = 0$ が重解を持ち、その重解が $x = a$ と異なる場合。

これは、$D = 0$ の場合に相当します。

$a^2 - 4 = 0$ より、$a = \pm 2$ となります。

$a = 2$ のとき、$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0$ より、$x = -1$ が重解です。

$a = -2$ のとき、$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0$ より、$x = 1$ が重解です。

いずれの場合も、重解は $x = a$ と異なるので、$a = \pm 2$ は条件を満たします。

したがって、(1)と(2)を合わせると、$-2 \le a \le 2$ となります。

ただし、$x^2 + ax + 1 = 0$ の解が $a$ と等しい場合を除く必要があります。

もし、$a$ が $x^2 + ax + 1 = 0$ の解であるならば、$a^2 + a^2 + 1 = 0$、すなわち $2a^2 + 1 = 0$ が成り立ちますが、これは実数解を持ちません。

したがって、$x^2 + ax + 1 = 0$ が $a$ を解に持つことはありません。

3. 最終的な答え

$-2 \le a \le 2$