(1) 関数 $sin\theta sin(\theta+\frac{\pi}{3}) sin(\theta-\frac{\pi}{3})$ を $asin^3\theta + bsin\theta$ の形で表すときの $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $-\frac{\pi}{2} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、方程式 $1 + cos2\theta + cos4\theta = 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $sin\theta sin(\theta+\frac{\pi}{3}) sin(\theta-\frac{\pi}{3})$ を $asin^3\theta + bsin\theta$ の形で表すときの $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $-\frac{\pi}{2} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、方程式 $1 + cos2\theta + cos4\theta = 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の積和の公式を用いる。

$sin(\theta+\frac{\pi}{3}) sin(\theta-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}[cos((\theta+\frac{\pi}{3})-(\theta-\frac{\pi}{3})) - cos((\theta+\frac{\pi}{3})+(\theta-\frac{\pi}{3}))]$

$= \frac{1}{2}[cos(\frac{2\pi}{3}) - cos(2\theta)]$

$= \frac{1}{2}[-\frac{1}{2} - cos(2\theta)]$

したがって、

$sin\theta sin(\theta+\frac{\pi}{3}) sin(\theta-\frac{\pi}{3}) = sin\theta \cdot \frac{1}{2}[-\frac{1}{2} - cos(2\theta)] = sin\theta \cdot \frac{1}{2}[-\frac{1}{2} - (1-2sin^2\theta)]$

$= sin\theta \cdot \frac{1}{2}[-\frac{3}{2} + 2sin^2\theta] = -\frac{3}{4}sin\theta + sin^3\theta$

$asin^3\theta + bsin\theta$ と比較すると、$a=1$, $b = -\frac{3}{4}$ となる。

(2)

$1 + cos2\theta + cos4\theta = 0$

$1 + cos2\theta + 2cos^2 2\theta - 1 = 0$

$cos2\theta + 2cos^2 2\theta = 0$

$cos2\theta(1 + 2cos2\theta) = 0$

$cos2\theta = 0$ または $1 + 2cos2\theta = 0$

$cos2\theta = 0$ のとき、$2\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta = \pm \frac{\pi}{4}$

$1 + 2cos2\theta = 0$ のとき、$cos2\theta = -\frac{1}{2}$ なので、$2\theta = \pm \frac{2\pi}{3}$ よって、$\theta = \pm \frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす解は、$\theta = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{3}$ なので、$\theta = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(a, b) = (1, -\frac{3}{4})$

(2) $\theta = \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{\pi}{3}$